trigonometri

SUDUT RANGKAP
Macam-macam sudut rangkap
Sin(α+α) = Sin 2α
Cos(α+α) = Cos 2α
Tan(α+α) =Tan 2α

Pembuktian sudut rangkap
Sin(α+α) =
Dari rumus penjumlahan Sin (α+β)
Sin (α+β)= Sin α . Cos β + Cos α . Sin β jika β = α, maka
Sin (α+α)= Sin α . Cos α + Cos α . Sin α
= 2 . Sin α. Cos α

Cos (α+α)=
Dari rumus penjumlahan Cos (α+β)
Cos (α+β) = Cos α . Cos β – Sin α . Sin β Jika β = α, maka
Cos (α+α) = Cos α . Cos α –Sin α . Sin α
= Cos 2α – Sin 2α ……………….cara (1)
Jika Cos 2α = 1- Sin 2α ,maka
Cos (α+α) = Cos 2α – Sin 2α
= 1- Sin 2α - Sin 2α
= 1- 2 Sin 2α ……………….cara (2)
Jika Sin 2α = 1- Cos 2α,maka
Cos (α+α) = Cos 2α – Sin 2α
= Cos 2α – (1- Cos 2α)
= Cos 2α – 1 + Cos 2α
= 2 Cos 2α – 1
Tan (α+α) =
Dari rumus penjumlahan Tan (α+β)
Tan (α+β)=(Tan α +Tan β)/(1-Tan α .Tan β) jika β = α, maka
Tan (α+α)=(Tan α+Tan α)/(1-Tan α .Tanα)
=(2 Tan⁡)/(1-Tan ^2 )

Contoh soal dan penyelesaian
Diketahui sin α = 4/5 , untuk α sudut tumpul.
Tentukan:
a. Sin 2 α
b. Cos 2 α
c. Tan 2 α
Penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus Cos 2α = 1- Sin 2α, diperoleh nilai dari cos A sebagai berikut:
Cos 2α = 1-( 4/5 )2 = 1- 16/25= 9/25
cos α =± 3/5 → cos α = - 3/5 (karena α di kuadran II)
Sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 . ( 4/5 ). (- 3/5 ) = - 24/25
Cos 2 α = Cos 2α – Sin 2α = (- 3/5 )2 - ( 4/5 )2 = 9/25 - 16/25 = - 7/25
Tan 2 α = sin⁡〖2 α 〗/(Cos 2 α) = (- 24/25)/(- 7/25 ) = 24/7

Jika Tan x = (1 )/2 , Tan y = (1 )/3 x dan y merupakan sudut lancip hitunglah
Tan 2x
Tan 2y
Tan (2x+y)
Penyelesaian

Diketahui Tan x = 1/2 dan Tan y = 1/3
Tan 2x = (2 Tan⁡x)/(1-Tan ^2 x)
= (2 . 1/2 )/(1-1/2 . 1/2 )
= (1 )/(1-1/4 )
= (1 )/(3/4 )
= 4/3




Tan 2y = (2 〖Tan 〗⁡y)/(1-Tan ^2 y)
= (2 . 1/3 )/(1-1/3 . 1/3 )
= (2 . 1/3 )/(1-1/9 )
= ( 2/3 )/(( 8)/( 9 ) )
= (2 )/3 . (9 )/8
= (3 )/4
Tan (2x+y) = (Tan 2x+Tan y)/(1-Tan 2x .Tan y )
= (4/(3 ) + 1/3 )/(1-4/(3 ) . 1/3 )
= (5/(3 ) )/(1-4/(3 ) )
= ( 5/3 )/(( 5)/( 9 ) )
= (5 )/3 . (9 )/5
= 3

Soal Latihan
Hitunglah nilai positif Tan  jika
Tan 2 = 4/3
Tan 2 = (24 )/7
Jika cos  = - (1 )/3 ,     (3 )/2 , hitung dengan menggunakan rumus sudut rangkap
Sin 2
Cos 2
Tan 2


Dengan menyatakan 3 = (2 + ), tunjukkan bahwa:
sin 3 = -4 sin3  + 3 sin 
cos 3 = 4cos3  - 3cos 
Diketahui cos 2  = 4/5 dan 0  2  /2. Hitunglah Tan 2.
Jika  adalah sudut lancip dan tan  = 3/4, hitunglah:
Tan 2
Tan 2